Алгебра Примеры

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{4}{x + 5} = \frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$4 ((x + 2) (x - 2)) = (x + 5) (3 x)$

Этап 3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 4 (x + 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x + 4 \cdot 2) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$(4 x + 8) (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.3

Развернем $(4 x + 8) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x (x - 2) + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 (x - 2) = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x + 8 \cdot - 2 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4.1.3

Умножим $8$ на $- 2$ .

$4 x^{2} - 8 x + 8 x - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4.2

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$4 x^{2} + 0 - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.1.4.3

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$4 x^{2} - 16 = (x + 5) \cdot (3 x)$

Этап 3.2

Упростим $(x + 5) \cdot (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 16 = x (3 x) + 5 (3 x)$

Этап 3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 5 (3 x)$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x \cdot x + 15 x$

Этап 3.2.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 (x \cdot x) + 15 x$

Этап 3.2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 3 x^{2} + 15 x$

Этап 3.3

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} + 15 x = 4 x^{2} - 16$

Этап 3.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 15 x - 4 x^{2} = - 16$

Этап 3.4.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + 15 x = - 16$

Этап 3.5

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} + 15 x + 16 = 0$

Этап 3.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 15 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 15 x + 16 = 0$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $15 x$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) + 16 = 0$

Этап 3.6.1.3

Перепишем $16$ в виде $- 1 (- 16)$ .

$- (x^{2}) - (- 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Этап 3.6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 15 x)$ .

$- (x^{2} - 15 x) - 1 \cdot - 16 = 0$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 15 x) - 1 (- 16)$ .

$- (x^{2} - 15 x - 16) = 0$

Этап 3.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Разложим $x^{2} - 15 x - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 15$ .

$- 16, 1$

Этап 3.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 16) (x + 1)) = 0$

Этап 3.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 16) (x + 1) = 0$

Этап 3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 16 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.8

Приравняем $x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 16$ к $0$ .

$x - 16 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x = 16$

Этап 3.9

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 16) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 16, - 1$