Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 2} + \frac{1}{5} = \frac{6}{x + 5}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{x + 2} = \frac{6}{x + 5} - \frac{1}{5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 2, x + 5, 5$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 1, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x + 2, x + 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x + 5)$

Этап 2.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$5 (x + 2) (x + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{x + 2} = \frac{6}{x + 5} - \frac{1}{5}$ умножим на $5 (x + 2) (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 2} = \frac{6}{x + 5} - \frac{1}{5}$ на $5 (x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{2}{x + 2} (5 (x + 2) (x + 5)) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x + 5)) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.2

Умножим $5 \frac{2}{x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{x + 2}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{x + 2} ((x + 2) (x + 5)) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x + 5)) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x + 5)) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$10 (x + 5) = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 10 \cdot 5 = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.2.5

Умножим $10$ на $5$ .

$10 x + 50 = \frac{6}{x + 5} (5 (x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 x + 50 = 5 \frac{6}{x + 5} ((x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.2

Умножим $5 \frac{6}{x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{6}{x + 5}$ .

$10 x + 50 = \frac{5 \cdot 6}{x + 5} ((x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $5$ на $6$ .

$10 x + 50 = \frac{30}{x + 5} ((x + 2) (x + 5)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x + 2) (x + 5)$ .

$10 x + 50 = \frac{30}{x + 5} ((x + 5) (x + 2)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$10 x + 50 = \frac{30}{x + 5} ((x + 5) (x + 2)) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$10 x + 50 = 30 (x + 2) - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 50 = 30 x + 30 \cdot 2 - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.5

Умножим $30$ на $2$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - \frac{1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$10 x + 50 = 30 x + 60 + \frac{- 1}{5} (5 (x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (x + 2) (x + 5)$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 + \frac{- 1}{5} (5 ((x + 2) (x + 5)))$

Этап 3.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$10 x + 50 = 30 x + 60 + \frac{- 1}{5} (5 ((x + 2) (x + 5)))$

Этап 3.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$10 x + 50 = 30 x + 60 - ((x + 2) (x + 5))$

Этап 3.3.1.7

Развернем $(x + 2) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x (x + 5) + 2 (x + 5))$

Этап 3.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 (x + 5))$

Этап 3.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x \cdot x + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5)$

Этап 3.3.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x^{2} + x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5)$

Этап 3.3.1.8.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x^{2} + 5 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 5)$

Этап 3.3.1.8.1.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x^{2} + 5 x + 2 x + 10)$

Этап 3.3.1.8.2

Добавим $5 x$ и $2 x$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - (x^{2} + 7 x + 10)$

Этап 3.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 50 = 30 x + 60 - x^{2} - (7 x) - 1 \cdot 10$

Этап 3.3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.10.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - x^{2} - 7 x - 1 \cdot 10$

Этап 3.3.1.10.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$10 x + 50 = 30 x + 60 - x^{2} - 7 x - 10$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $7 x$ из $30 x$ .

$10 x + 50 = 23 x + 60 - x^{2} - 10$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $10$ из $60$ .

$10 x + 50 = 23 x - x^{2} + 50$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$23 x - x^{2} + 50 = 10 x + 50$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$23 x - x^{2} + 50 - 10 x = 50$

Этап 4.2.2

Вычтем $10 x$ из $23 x$ .

$13 x - x^{2} + 50 = 50$

Этап 4.3

Вычтем $50$ из обеих частей уравнения.

$13 x - x^{2} + 50 - 50 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $13 x - x^{2} + 50 - 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $50$ из $50$ .

$13 x - x^{2} + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $13 x - x^{2}$ и $0$ .

$13 x - x^{2} = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $13 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $13 x$ .

$x \cdot 13 - x^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 13 + x (- x) = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 13 + x (- x)$ .

$x (13 - x) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$13 - x = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $13 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $13 - x$ к $0$ .

$13 - x = 0$

Этап 4.8.2

Решим $13 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 13$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $- x = - 13$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 13$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 4.8.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

Этап 4.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.3.1

Разделим $- 13$ на $- 1$ .

$x = 13$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (13 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 13$