Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \div \frac{x^{3} - x^{2} - 6 x}{x^{2} + 4 x - 21}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} - 4}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{3} + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} + 7 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + 7 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 7} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot 7$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 21}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 4 x - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $4$ .

$- 3, 7$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x^{3} - x^{2} - 6 x}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} - x^{2} - 6 x}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) - 6 x}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 6}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x) + x \cdot - 6}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - x) + x \cdot - 6$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x^{2} - x - 6)}$

Этап 5.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x ((x - 3) (x + 2))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 7)} \cdot \frac{(x - 3) (x + 7)}{x (x - 3) (x + 2)}$

Этап 6

Объединим.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{2} (x + 7) (x (x - 3) (x + 2))}$

Этап 7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x \cdot x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1} x^{2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{1 + 2} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) ((x - 3) (x + 2))}$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Этап 9

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) ((x - 3) (x + 7))}{x^{3} (x + 7) (x - 3)}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{3} (x + 7)}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2}{x^{3}}$

Этап 11

Разобьем дробь $\frac{x - 2}{x^{3}}$ на две дроби.

$\frac{x}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 12.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 12.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 12.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 12.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$