Алгебра Примеры

$4 x^{4} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 27 x^{2} - 81 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 u^{2} + 27 u - 81 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 81 = - 324$ , а сумма — $b = 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $27$ из $27 u$ .

$4 u^{2} + 27 (u) - 81 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $27$ как $- 9$ плюс $36$

$4 u^{2} + (- 9 + 36) u - 81 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 9 u + 36 u - 81 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 9 u) + 36 u - 81 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 9) + 9 (4 u - 9) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u + 9) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 5

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 9) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 9

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 9.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 10

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 10.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 11

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 11.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 11.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 11.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 11.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 11.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 11.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 11.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 11.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} + 9) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 3 i, - 3 i$