Алгебра Примеры

${(x - \frac{40}{x})}^{2} - 3 (x - \frac{40}{x}) - 18 = 0$

Этап 1

Пусть $u = x - \frac{40}{x}$ . Подставим $u$ вместо $x - \frac{40}{x}$ для всех.

$u^{2} - 3 u - 18 = 0$

Этап 2

Разложим $u^{2} - 3 u - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 6) (u + 3) = 0$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{40}{x}$ .

$(x - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 4

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{x \cdot x - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 6

Умножим $x$ на $x$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 7

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 8

Объединим $- 6$ и $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{- 6 x}{x}) (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} - 40 - 6 x}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 10

Разложим $x^{2} - 40 - 6 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $- 6$ .

$- 10, 4$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (x - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 11

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x}{x} - \frac{40}{x} + 3) = 0$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x \cdot x - 40}{x} + 3) = 0$

Этап 13

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + 3) = 0$

Этап 14

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot (\frac{x^{2} - 40}{x} + \frac{3 x}{x}) = 0$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{x^{2} - 40 + 3 x}{x} = 0$

Этап 16

Разложим $x^{2} - 40 + 3 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $3$ .

$- 5, 8$

Этап 16.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Этап 17

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Этап 18

Приравняем $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Приравняем $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x}$ к $0$ .

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$

Этап 18.2

Решим $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 10) (x + 4) = 0$

Этап 18.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 18.2.2.2

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 18.2.2.2.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 18.2.2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 18.2.2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 18.2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 10, - 4$

Этап 19

Приравняем $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Приравняем $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x}$ к $0$ .

$\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$

Этап 19.2

Решим $\frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 5) (x + 8) = 0$

Этап 19.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 19.2.2.2

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 19.2.2.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 19.2.2.3

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.3.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 19.2.2.3.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 19.2.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 5, - 8$

Этап 20

Окончательным решением являются все значения, при которых $\frac{(x - 10) (x + 4)}{x} \cdot \frac{(x - 5) (x + 8)}{x} = 0$ верно.

$x = 10, - 4, 5, - 8$