Алгебра Примеры

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) = 2 \log_{3} (x + 2)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log_{3} (6 x) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим $2 \log_{3} (6 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} ({(6 x)}^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $6 x$ .

$\log_{3} (6^{2} x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Этап 2.1.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - 2 \log_{3} (x + 2) = 0$

Этап 2.1.1.4

Упростим $- 2 \log_{3} (x + 2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{3} (36 x^{2}) - \log_{3} (4 x) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{36 x^{2}}{4 x}) - \log_{3} ({(x + 2)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{36 x^{2}}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $36$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $36 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 (x)}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{\frac{4 (9 x^{2})}{4 x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x^{1}}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x)}{x \cdot 1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x}{1}}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 2.1.5.2.5

Разделим $9 x$ на $1$ .

$\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\log_{3} (\frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{9 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$9 x = 3^{0} ({(x + 2)}^{2})$

Этап 5

Упростим $3^{0} ({(x + 2)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$9 x = 1 {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.1.2

Умножим ${(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

$9 x = {(x + 2)}^{2}$

Этап 5.1.3

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$9 x = (x + 2) (x + 2)$

Этап 5.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 5.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$9 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 5.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$9 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 5.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$9 x = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 x - x^{2} = 4 x + 4$

Этап 6.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x - x^{2} - 4 x = 4$

Этап 6.3

Вычтем $4 x$ из $9 x$ .

$- x^{2} + 5 x = 4$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x (- x) + 5 x = 4$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 5$ .

$x (- x + 5) = 4$

Этап 8

Упростим $x (- x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 5 = 4$

Этап 8.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 5 = 4$

Этап 8.1.2.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$- x \cdot x + 5 \cdot x = 4$

Этап 8.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + 5 \cdot x = 4$

Этап 8.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + 5 \cdot x = 4$

$- x^{2} + 5 x = 4$

Этап 9

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$

Этап 10

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 5 x - 4 = 0$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 4 = 0$

Этап 10.1.3

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$- (x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$- (x^{2} - 5 x) - 1 \cdot 4 = 0$

Этап 10.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 5 x) - 1 (4)$ .

$- (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Этап 10.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 10.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Этап 10.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x - 1) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 12.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 13

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 13.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 4, 1$