Алгебра Примеры

$x^{- 3} = 64$

Этап 1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$x^{- 3} - 64 = 0$

Этап 2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - 64 = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - 64 = 0$

Этап 4

Перепишем $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 64 = 0$

Этап 5

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 4^{3} = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = \frac{1}{x}$ и $b = 4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 7.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 4^{2}) = 0$

Этап 7.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 16) = 0$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 9

Объединим $- 4$ и $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 11

Чтобы записать $\frac{4}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 12.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + 16) = 0$

Этап 14

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{4 x + 1 + 16 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Этап 17

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Этап 18

Приравняем $\frac{1 - 4 x}{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Приравняем $\frac{1 - 4 x}{x}$ к $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

Этап 18.2

Решим $\frac{1 - 4 x}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 - 4 x = 0$

Этап 18.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 1$

Этап 18.2.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 18.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 18.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 18.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 19

Приравняем $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Приравняем $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ к $0$ .

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Этап 19.2

Решим $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 19.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 19.2.2.2

Подставим значения $a = 16$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.3.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 19.2.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 19.2.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Этап 19.2.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Этап 19.2.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 19.2.2.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 19.2.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Этап 19.2.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Этап 19.2.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 19.2.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 20

Окончательным решением являются все значения, при которых $\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$