Алгебра Примеры

$4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{5} - 8 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{5}$ .

$4 x (x^{4}) - 8 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x$ .

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1) = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (1)$ .

$4 x (x^{4} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1) = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 x (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$4 x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$4 x {(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Этап 6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 x {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$4 x ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 11

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 11.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 12

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 12.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$