Алгебра Примеры

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{2} + 4 x}{12 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{16 x^{3} - 16 x^{2} + 4 x}{12 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$12 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x^{3}$ .

$3 x (4 x^{2}) + 12 x^{2} + 3 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x^{2}$ .

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (4 x) + 3 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x$ .

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (4 x) + 3 x (1) = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (4 x^{2}) + 3 x (4 x)$ .

$3 x (4 x^{2} + 4 x) + 3 x (1) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (4 x^{2} + 4 x) + 3 x (1)$ .

$3 x (4 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$3 x ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 x ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Этап 2.1.2.4

Перепишем многочлен.

$3 x ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$3 x {(2 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(2 x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(2 x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.4.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x {(2 x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{2}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, - \frac{1}{2}}$

Этап 4