Алгебра Примеры

$\frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{x + 2}{x - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x + 2}{x - 6}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.3

Развернем $(- x - 2) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x (x + 3) - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.5

Вычтем $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.6

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7.1.2

Запишем $- 5$ как $2$ плюс $- 7$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 7) x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (x + 1) - 7 (x + 1)}{(x - 6) (x + 3)}$

Этап 4.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7)}{(x - 6) (x + 3)}$