Алгебра Примеры

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 2 x - 1$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$

Этап 2

Решим $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$1 - x^{2} = {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$1 - x^{2} = (2 x - 1) (2 x - 1)$

Этап 2.2.3.1.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Этап 2.2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Этап 2.2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 - x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Этап 2.2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Этап 2.2.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$1 - x^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 4 x + 1 = 1 - x^{2}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 4 x + 1 + x^{2} = 1$

Этап 2.3.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$5 x^{2} - 4 x + 1 = 1$

Этап 2.3.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} - 4 x + 1 - 1 = 0$

Этап 2.3.4

Объединим противоположные члены в $5 x^{2} - 4 x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$5 x^{2} - 4 x + 0 = 0$

Этап 2.3.4.2

Добавим $5 x^{2} - 4 x$ и $0$ .

$5 x^{2} - 4 x = 0$

Этап 2.3.5

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$x (5 x) - 4 x = 0$

Этап 2.3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x (5 x) + x \cdot - 4 = 0$

Этап 2.3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (5 x) + x \cdot - 4$ .

$x (5 x - 4) = 0$

Этап 2.3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 x - 4 = 0 + y = 2 x - 1$

Этап 2.3.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.8

Приравняем $5 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Приравняем $5 x - 4$ к $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Этап 2.3.8.2

Решим $5 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 4$

Этап 2.3.8.2.2

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 4$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.3.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Этап 2.3.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Этап 2.3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (5 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{5}$

Этап 2.4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{1 - x^{2}} = 2 x - 1$ истинным.

$x = \frac{4}{5}$

Этап 3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{4}{5}$ вместо $x$ .

$y = 2 (\frac{4}{5}) - 1$

Этап 3.2

Упростим $2 (\frac{4}{5}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2 (\frac{4}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{2 \cdot 4}{5} - 1$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{8}{5} - 1$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{8 - 1 \cdot 5}{5}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{8 - 5}{5}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$y = \frac{3}{5}$

Этап 4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

Форма уравнения:

$x = \frac{4}{5}, y = \frac{3}{5}$

Этап 6