Алгебра Примеры

$\frac{3 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{1}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $x^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x \cdot x^{2} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} + (- x - 1 \cdot 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x^{3} + (- x - 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.4

Развернем $(- x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - x (x - 2) - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 0 + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.5.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.6

Разложим $3 x^{3} - x^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 6.6.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Этап 6.6.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$3 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 6.6.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$3 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 6.6.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 6.6.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 3 - 1 \cdot 1 + 4$

Этап 6.6.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 - 1 + 4$

Этап 6.6.3.6

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$- 4 + 4$

Этап 6.6.3.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 6.6.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x + 1}$

Этап 6.6.5

Разделим $3 x^{3} - x^{2} + 4$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 6.6.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Этап 6.6.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 6.6.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 6.6.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 6.6.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.6.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 6.6.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 6.6.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 6.6.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Этап 6.6.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 6.6.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 6.6.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Этап 6.6.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x + 4$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Этап 6.6.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Этап 6.6.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Этап 6.6.6

Запишем $3 x^{3} - x^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$\frac{(x + 1) (3 x^{2} - 4 x + 4)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$