Алгебра Примеры

$2 \ln (2 x^{2}) = 1$

Этап 1

Упростим $2 \ln (2 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \ln (2 x^{2})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(2 x^{2})}^{2}) = 1$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$\ln (2^{2} {(x^{2})}^{2}) = 1$

Этап 1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (4 {(x^{2})}^{2}) = 1$

Этап 1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (4 x^{2 \cdot 2}) = 1$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\ln (4 x^{4}) = 1$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (4 x^{4})} = e^{1}$

Этап 3

Перепишем $\ln (4 x^{4}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 4 x^{4}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{4} = e^{1}$ .

$4 x^{4} = e$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 x^{4} = e^{1}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 x^{4} = e^{1}$ на $4$ .

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим.

$x^{4} = \frac{e}{4}$

Этап 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$

Этап 4.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$

Этап 4.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем $\sqrt[4]{2^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 4.4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 4.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 4.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 4.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 4.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.4.5.1.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{2}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Этап 4.4.5.1.3

Перепишем $2^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Этап 4.4.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 2^{2}}}{2}$

Этап 4.4.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$

Этап 4.4.6

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.90794307 \dots, - 0.90794307 \dots$