Алгебра Примеры

$x^{4} - 8 x^{2} = - 16$

Этап 1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Этап 6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 8

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 10

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 10.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 10.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 11

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 11.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$