Алгебра Примеры

$5 + 20 \cdot 2^{2 - 3 x} = 10 \cdot 2^{- 2 x} + 5$

Этап 1

Вычтем $10 \cdot 2^{- 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$5 + 20 \cdot 2^{2 - 3 x} - 10 \cdot 2^{- 2 x} = 5$

Этап 2

Перепишем $2^{2 - 3 x}$ в виде $2^{2} \cdot 2^{- 3 x}$ .

$5 + 20 \cdot (2^{2} \cdot 2^{- 3 x}) - 10 \cdot 2^{- 2 x} = 5$

Этап 3

Перепишем $2^{- 3 x}$ в виде степенного выражения.

$5 + 20 \cdot (2^{2} \cdot {(2^{x})}^{- 3}) - 10 \cdot 2^{- 2 x} = 5$

Этап 4

Перепишем $2^{- 2 x}$ в виде степенного выражения.

$5 + 20 \cdot (2^{2} \cdot {(2^{x})}^{- 3}) - 10 \cdot {(2^{x})}^{- 2} = 5$

Этап 5

Умножим $- 10$ на ${2^{x}}^{- 2}$ .

$5 + 20 \cdot (2^{2} {(2^{x})}^{- 3}) - 10 {(2^{x})}^{- 2} = 5$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$5 + 20 \cdot (2^{2} u^{- 3}) - 10 u^{- 2} = 5$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$5 + 20 \cdot (4 u^{- 3}) - 10 u^{- 2} = 5$

Этап 7.2

Умножим $20$ на $4$ .

$5 + 80 u^{- 3} - 10 u^{- 2} = 5$

Этап 7.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 + 80 (\frac{1}{u^{3}}) - 10 u^{- 2} = 5$

Этап 7.4

Объединим $80$ и $\frac{1}{u^{3}}$ .

$5 + \frac{80}{u^{3}} - 10 u^{- 2} = 5$

Этап 7.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 + \frac{80}{u^{3}} - 10 \frac{1}{u^{2}} = 5$

Этап 7.6

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{u^{2}}$ .

$5 + \frac{80}{u^{3}} + \frac{- 10}{u^{2}} = 5$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 + \frac{80}{u^{3}} - \frac{10}{u^{2}} = 5$

Этап 8

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u^{3}, u^{2}, 1$

Этап 8.1.2

Since $1, u^{3}, u^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}, u^{2}$ .

Этап 8.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 8.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 8.1.6

Множители $u^{3}$ — $u \cdot u \cdot u$ , то есть $u$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ встречается $3$ раз.

Этап 8.1.7

Множители $u^{2}$ — $u \cdot u$ , то есть $u$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$u^{2} = u \cdot u$

$u$ встречается $2$ раз.

Этап 8.1.8

НОК $u^{3}, u^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$u \cdot u \cdot u$

Этап 8.1.9

Упростим $u \cdot u \cdot u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Этап 8.1.9.2

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.2.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Этап 8.1.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u^{2 + 1}$

Этап 8.1.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u^{3}$

Этап 8.2

Каждый член в $5 + \frac{80}{u^{3}} - \frac{10}{u^{2}} = 5$ умножим на $u^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим каждый член $5 + \frac{80}{u^{3}} - \frac{10}{u^{2}} = 5$ на $u^{3}$ .

$5 u^{3} + \frac{80}{u^{3}} u^{3} - \frac{10}{u^{2}} u^{3} = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$5 u^{3} + \frac{80}{u^{3}} u^{3} - \frac{10}{u^{2}} u^{3} = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 u^{3} + 80 - \frac{10}{u^{2}} u^{3} = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10}{u^{2}}$ в числитель.

$5 u^{3} + 80 + \frac{- 10}{u^{2}} u^{3} = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $u^{2}$ из $u^{3}$ .

$5 u^{3} + 80 + \frac{- 10}{u^{2}} (u^{2} u) = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$5 u^{3} + 80 + \frac{- 10}{u^{2}} (u^{2} u) = 5 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$5 u^{3} + 80 - 10 u = 5 u^{3}$

Этап 8.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вычтем $5 u^{3}$ из обеих частей уравнения.

$5 u^{3} + 80 - 10 u - 5 u^{3} = 0$

Этап 8.3.1.2

Объединим противоположные члены в $5 u^{3} + 80 - 10 u - 5 u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вычтем $5 u^{3}$ из $5 u^{3}$ .

$80 - 10 u + 0 = 0$

Этап 8.3.1.2.2

Добавим $80 - 10 u$ и $0$ .

$80 - 10 u = 0$

Этап 8.3.2

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

$- 10 u = - 80$

Этап 8.3.3

Разделим каждый член $- 10 u = - 80$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Разделим каждый член $- 10 u = - 80$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 u}{- 10} = \frac{- 80}{- 10}$

Этап 8.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 u}{- 10} = \frac{- 80}{- 10}$

Этап 8.3.3.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 80}{- 10}$

Этап 8.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.3.1

Разделим $- 80$ на $- 10$ .

$u = 8$

Этап 9

Подставим $8$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Этап 10

Решим $8 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Этап 10.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{3}$

Этап 10.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$