Алгебра Примеры

$\sqrt{4 y + 20} - \sqrt{y - 4} = 6$

Этап 1

Добавим $\sqrt{y - 4}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + \sqrt{y - 4}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y + 20}$ в виде ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y + 20)}^{1} = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 y + 20 = {(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(6 + \sqrt{y - 4})}^{2}$ в виде $(6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$ .

$4 y + 20 = (6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(6 + \sqrt{y - 4}) (6 + \sqrt{y - 4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = 6 (6 + \sqrt{y - 4}) + \sqrt{y - 4} (6 + \sqrt{y - 4})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} (6 + \sqrt{y - 4})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \cdot 6 + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \cdot \sqrt{y - 4} + \sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{y - 4} \sqrt{y - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{y - 4}$ в степень $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1} \sqrt{y - 4}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{y - 4}$ в степень $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1} {\sqrt{y - 4}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {\sqrt{y - 4}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{y - 4}}^{2}$ в виде $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 4}$ в виде ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + {(y - 4)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$4 y + 20 = 36 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + y - 4$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $4$ из $36$ .

$4 y + 20 = 32 + 6 \sqrt{y - 4} + 6 \sqrt{y - 4} + y$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $6 \sqrt{y - 4}$ и $6 \sqrt{y - 4}$ .

$4 y + 20 = 32 + 12 \sqrt{y - 4} + y$

Этап 4

Решим относительно $12 \sqrt{y - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $32 + 12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20$ .

$32 + 12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $12 \sqrt{y - 4}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $32$ из обеих частей уравнения.

$12 \sqrt{y - 4} + y = 4 y + 20 - 32$

Этап 4.2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$12 \sqrt{y - 4} = 4 y + 20 - 32 - y$

Этап 4.2.3

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y + 20 - 32$

Этап 4.2.4

Вычтем $32$ из $20$ .

$12 \sqrt{y - 4} = 3 y - 12$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(12 \sqrt{y - 4})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 4}$ в виде ${(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $12 {(y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$144 {({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$144 {(y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$144 {(y - 4)}^{1} = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$144 (y - 4) = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y + 144 \cdot - 4 = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $144$ на $- 4$ .

$144 y - 576 = {(3 y - 12)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(3 y - 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(3 y - 12)}^{2}$ в виде $(3 y - 12) (3 y - 12)$ .

$144 y - 576 = (3 y - 12) (3 y - 12)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(3 y - 12) (3 y - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 576 = 3 y (3 y - 12) - 12 (3 y - 12)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y - 12)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 576 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$144 y - 576 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 12 - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 12$ на $3$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 12 (3 y) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 36 y - 36 y + 144$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $36 y$ из $- 36 y$ .

$144 y - 576 = 9 y^{2} - 72 y + 144$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 y^{2} - 72 y + 144 = 144 y - 576$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $144 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - 72 y + 144 - 144 y = - 576$

Этап 7.2.2

Вычтем $144 y$ из $- 72 y$ .

$9 y^{2} - 216 y + 144 = - 576$

Этап 7.3

Добавим $576$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} - 216 y + 144 + 576 = 0$

Этап 7.4

Добавим $144$ и $576$ .

$9 y^{2} - 216 y + 720 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} - 216 y + 720$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 216 y + 720 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 216 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 24 y) + 720 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $720$ .

$9 y^{2} + 9 (- 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} + 9 (- 24 y)$ .

$9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80 = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (y^{2} - 24 y) + 9 \cdot 80$ .

$9 (y^{2} - 24 y + 80) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим $y^{2} - 24 y + 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $80$ , а сумма — $- 24$ .

$- 20, - 4$

Этап 7.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((y - 20) (y - 4)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (y - 20) (y - 4) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 20 = 0$

$y - 4 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $y - 20$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $y - 20$ к $0$ .

$y - 20 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$y = 20$

Этап 7.8

Приравняем $y - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $y - 4$ к $0$ .

$y - 4 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (y - 20) (y - 4) = 0$ верно.

$y = 20, 4$