Алгебра Примеры

$\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 5) = \ln (\frac{x - 1}{x + 1})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x + 5 = \frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{x - 1}{x + 1} - 5$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{x - 1}{x + 1}$ на две дроби.

$x = \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} - 5$

Этап 3.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 5$

Этап 3.1.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 3.1.3.3

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$x = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 5 (x + 1)}{x + 1}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{x - 1 - 5 (x + 1)}{x + 1}$

Этап 3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{x + 1}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$x = \frac{x - 1 - 5 x - 5}{x + 1}$

Этап 3.1.6

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$x = \frac{- 4 x - 1 - 5}{x + 1}$

Этап 3.1.7

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$x = \frac{- 4 x - 6}{x + 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) - 6}{x + 1}$

Этап 3.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 3)}{x + 1}$

Этап 3.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x) + 2 (- 3)$ .

$x = \frac{2 (- 2 x - 3)}{x + 1}$

Этап 3.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 3)}{x + 1}$

Этап 3.1.10

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x) - 1 (3))}{x + 1}$

Этап 3.1.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (3)$ .

$x = \frac{2 (- (2 x + 3))}{x + 1}$

Этап 3.1.12

Перепишем $- (2 x + 3)$ в виде $- 1 (2 x + 3)$ .

$x = \frac{2 (- 1 (2 x + 3))}{x + 1}$

Этап 3.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x + 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$1, x + 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x + 1$

Этап 3.3

Каждый член в $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ умножим на $x + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ на $x + 1$ .

$x (x + 1) = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x = - \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (2 x + 3)}{x + 1}$ в числитель.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + x = \frac{- 2 (2 x + 3)}{x + 1} (x + 1)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + x = - 2 (2 x + 3)$

Этап 3.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + x = - 2 (2 x) - 2 \cdot 3$

Этап 3.3.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 2 \cdot 3$

Этап 3.3.3.3.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x^{2} + x = - 4 x - 6$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x + 4 x = - 6$

Этап 3.4.1.2

Добавим $x$ и $4 x$ .

$x^{2} + 5 x = - 6$

Этап 3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Этап 3.4.3

Разложим $x^{2} + 5 x + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $5$ .

$2, 3$

Этап 3.4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x + 3) = 0$

Этап 3.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.4.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.4.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = - 2, - 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x + 5) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ истинным.

$Нет решения$