Алгебра Примеры

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x - 2}{3 x}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{x}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{3 x}{3 x} - \frac{x - 2}{3 x}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{x - 2}{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{3 x}{3 x} - \frac{x - 2}{3 x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) \cdot 3 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x}{x - 1}$ на $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\frac{x (3 x)}{(x - 1) (3 x)} - \frac{x - 2}{3 x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{x - 2}{3 x}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (3 x)}{(x - 1) (3 x)} - \frac{(x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (3 x)$ .

$\frac{x (3 x)}{3 x (x - 1)} - \frac{(x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (3 x) - (x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x - (x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - (x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} - (x - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} + (- x - - 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + (- x + 2) (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.5

Развернем $(- x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x (x - 1) + 2 (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 1 + 2 (x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{2} - (x \cdot x) - x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} - x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 1 x + 2 x + 2 \cdot - 1}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + x + 2 x + 2 \cdot - 1}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + x + 2 x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.6.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 3 x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.7

Вычтем $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}{3 x (x - 1)}$

Этап 5.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{3 x (x - 1)}$