Алгебра Примеры

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

Этап 1

Разложим $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Этап 1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.3

Умножим $6$ на $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.5

Умножим $25$ на $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.6

Добавим $0.75$ и $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Этап 1.3.7

Умножим $- 24$ на $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Этап 1.3.8

Вычтем $12$ из $7$ .

$- 5 + 5$

Этап 1.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $28 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $28 x^{2} - 14 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x + 5$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Этап 1.6

Запишем $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $14$ как $- 1$ плюс $15$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$