Алгебра Примеры

$\frac{8 \sqrt{6 m n} + 6 \sqrt{8 m n}}{2 \sqrt{2 m n}}$

Этап 1

Сократим общий множитель $8 \sqrt{6 m n} + 6 \sqrt{8 m n}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{6 m n}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{6 m n}) + 6 \sqrt{8 m n}}{2 \sqrt{2 m n}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{8 m n}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{6 m n}) + 2 (3 \sqrt{8 m n})}{2 \sqrt{2 m n}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 \sqrt{6 m n}) + 2 (3 \sqrt{8 m n})$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{6 m n} + 3 \sqrt{8 m n})}{2 \sqrt{2 m n}}$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2 m n}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{6 m n} + 3 \sqrt{8 m n})}{2 (\sqrt{2 m n})}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 \sqrt{6 m n} + 3 \sqrt{8 m n})}{2 \sqrt{2 m n}}$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sqrt{6 m n} + 3 \sqrt{8 m n}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 m n}$ в виде ${(6 m n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(6 m n)}^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{8 m n}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 m n}$ в виде ${(8 m n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(6 m n)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(8 m n)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило умножения к $6 m n$ .

$\frac{4 ({(6 m)}^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 m n)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.3.2

Применим правило умножения к $6 m$ .

$\frac{4 (6^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}) + 3 {(8 m n)}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $8 m n$ .

$\frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} + 3 ({(8 m)}^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.4.2

Применим правило умножения к $8 m$ .

$\frac{4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} + 3 (8^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ из $4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ из $4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ из $3 \cdot 8^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}}) + m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}$ из $m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}}) + m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 3

Умножим $\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$ на $\frac{\sqrt{2 m n}}{\sqrt{2 m n}}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}} \cdot \frac{\sqrt{2 m n}}{\sqrt{2 m n}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{2 m n}}$ на $\frac{\sqrt{2 m n}}{\sqrt{2 m n}}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{\sqrt{2 m n} \sqrt{2 m n}}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{2 m n}$ в степень $1$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{\sqrt{2 m n}}^{1} \sqrt{2 m n}}$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{2 m n}$ в степень $1$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{\sqrt{2 m n}}^{1} {\sqrt{2 m n}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{\sqrt{2 m n}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{\sqrt{2 m n}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{2 m n}}^{2}$ в виде $2 m n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 m n}$ в виде ${(2 m n)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{({(2 m n)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{(2 m n)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{(2 m n)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{(2 m n)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{{(2 m n)}^{1}}$

Этап 4.6.5

Упростим.

$\frac{m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m n}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $m^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m n m^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Перенесем $n^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m n m^{- \frac{1}{2}} n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $m$ на $m^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перенесем $m^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 (m^{- \frac{1}{2}} m) n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.2

Умножим $m^{- \frac{1}{2}}$ на $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Возведем $m$ в степень $1$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 (m^{- \frac{1}{2}} m^{1}) n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{- \frac{1}{2} + 1} n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{- 1 + 2}{2}} n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n \cdot n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Умножим $n$ на $n^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $n^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} (n^{- \frac{1}{2}} n)}$

Этап 6.2.2

Умножим $n^{- \frac{1}{2}}$ на $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} (n^{- \frac{1}{2}} n^{1})}$

Этап 6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Этап 6.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Этап 6.2.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Изменим порядок множителей в $\frac{(4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) \sqrt{2 m n}}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{2 m n} (4 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{2}})}{2 m^{\frac{1}{2}} n^{\frac{1}{2}}}$