Алгебра Примеры

$\sqrt{3 x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 1}}^{2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 1}$ в виде ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 1)}^{1} = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 x + 1 = {(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(2 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$ .

$3 x + 1 = (2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(2 + \sqrt{x + 1}) (2 + \sqrt{x + 1})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 1 = 2 (2 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (2 + \sqrt{x + 1})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 1 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (2 + \sqrt{x + 1})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 1 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 2 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 2 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{x + 1}$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$3 x + 1 = 4 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $4$ и $1$ .

$3 x + 1 = 5 + 2 \sqrt{x + 1} + 2 \sqrt{x + 1} + x$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $2 \sqrt{x + 1}$ и $2 \sqrt{x + 1}$ .

$3 x + 1 = 5 + 4 \sqrt{x + 1} + x$

Этап 3

Решим относительно $4 \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $5 + 4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1$ .

$5 + 4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{x + 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{x + 1} + x = 3 x + 1 - 5$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{x + 1} = 3 x + 1 - 5 - x$

Этап 3.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$4 \sqrt{x + 1} = 2 x + 1 - 5$

Этап 3.2.4

Вычтем $5$ из $1$ .

$4 \sqrt{x + 1} = 2 x - 4$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(x + 1)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$16 (x + 1) = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 \cdot 1 = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $16$ на $1$ .

$16 x + 16 = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(2 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 4)}^{2}$ в виде $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$16 x + 16 = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(2 x - 4) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 x + 16 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$16 x + 16 = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 x + 16$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 - 16 x = 16$

Этап 6.2.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 16 = 16$

Этап 6.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 32 x + 16 - 16 = 0$

Этап 6.4

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 32 x + 16 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 0 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $4 x^{2} - 32 x$ и $0$ .

$4 x^{2} - 32 x = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} - 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$4 x (x) - 32 x = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 32 x$ .

$4 x (x) + 4 x (- 8) = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (- 8)$ .

$4 x (x - 8) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.8

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 6.8.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x - 8) = 0$ верно.

$x = 0, 8$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x + 1} = 2 + \sqrt{x + 1}$ истинным.

$x = 8$