Алгебра Примеры

$\frac{x + 1}{x + 4} = \frac{x^{2} - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8} - \frac{x - 4}{x - 2}$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{x^{2} - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x^{2} - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8} = - \frac{x - 4}{x - 2}$

Этап 1.2

Добавим $\frac{x - 4}{x - 2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x^{2} - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x^{2} - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{x - 4}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x \cdot x - 18 x}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 18 x$ .

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x \cdot x + x \cdot - 18}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 18$ .

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x (x - 18)}{x^{2} + 2 x - 8} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{2} + 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 1}{x + 4} - \frac{x (x - 18)}{(x - 2) (x + 4)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x + 1}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x (x - 18)}{(x - 2) (x + 4)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x + 1}{x + 4}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} - \frac{x (x - 18)}{(x - 2) (x + 4)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 4) (x - 2)} - \frac{x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x - 2) - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x + 1) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 2) + 1 (x - 2) - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + x - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x (x - 18)}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - 2 - x \cdot x - x \cdot - 18}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot - 18}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} - x \cdot - 18}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 18$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 - x^{2} + 18 x}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x - 2 + 0 + 18 x}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.7

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{- x - 2 + 18 x}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.5.8

Добавим $- x$ и $18 x$ .

$\frac{17 x - 2}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $\frac{x - 4}{x - 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{17 x - 2}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{x - 4}{x - 2} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Этап 2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $\frac{x - 4}{x - 2}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{17 x - 2}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 2) (x + 4)} = 0$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 4)$ .

$\frac{17 x - 2}{(x + 4) (x - 2)} + \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{17 x - 2 + (x - 4) (x + 4)}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Развернем $(x - 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 x - 2 + x (x + 4) - 4 (x + 4)}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{17 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 4$ и $- 4 x$ .

$\frac{17 x - 2 + x \cdot x + 4 x - 4 x - 4 \cdot 4}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{17 x - 2 + x \cdot x + 0 - 4 \cdot 4}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{17 x - 2 + x \cdot x - 4 \cdot 4}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{17 x - 2 + x^{2} - 4 \cdot 4}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.3.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{17 x - 2 + x^{2} - 16}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.4

Вычтем $16$ из $- 2$ .

$\frac{17 x + x^{2} - 18}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 17 x - 18}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 2.9.6

Разложим $x^{2} + 17 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $17$ .

$- 1, 18$

Этап 2.9.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 18)}{(x + 4) (x - 2)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 1) (x + 18) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 18 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.3

Приравняем $x + 18$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x + 18$ к $0$ .

$x + 18 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$x = - 18$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 18) = 0$ верно.

$x = 1, - 18$