Алгебра Примеры

$6 x = \sqrt{24 + 12 x}$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{24 + 12 x}$ из обеих частей уравнения.

$6 x - \sqrt{24 + 12 x} = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $12$ из $24 + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $24$ .

$6 x - \sqrt{12 \cdot 2 + 12 x} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12 \cdot 2 + 12 x$ .

$6 x - \sqrt{12 (2 + x)} = 0$

Этап 2.2

Перепишем $12 (2 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (2 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$6 x - \sqrt{4 (3) (2 + x)} = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$6 x - \sqrt{2^{2} \cdot 3 (2 + x)} = 0$

Этап 2.2.3

Добавим круглые скобки.

$6 x - \sqrt{2^{2} \cdot (3 (2 + x))} = 0$

Этап 2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$6 x - (2 \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x - 2 \sqrt{3 (2 + x)} = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 2 \sqrt{3 (2 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 \sqrt{3 (2 + x)} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3 (2 + x)}$ .

$2 (3 x) + 2 (- \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- \sqrt{3 (2 + x)})$ .

$2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)})}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $3 x - \sqrt{3 (2 + x)}$ на $1$ .

$3 x - \sqrt{3 (2 + x)} = \frac{0}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$3 x - \sqrt{3 (2 + x)} = 0$

Этап 5

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{3 (2 + x)} = - 3 x$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{3 (2 + x)})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (2 + x)}$ в виде ${(3 (2 + x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 (2 + x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(- {(3 (2 + x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(- {(3 \cdot 2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

${(- {(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.2

Применим правило умножения к $- {(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.4

Умножим ${({(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.5

Перемножим экспоненты в ${({(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 + 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 + 3 x)}^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Упростим.

$6 + 3 x = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(- 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Применим правило умножения к $- 3 x$ .

$6 + 3 x = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Этап 7.3.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$6 + 3 x = 9 x^{2}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 + 3 x - 9 x^{2} = 0$

Этап 8.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $6 + 3 x - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Перенесем $6$ .

$3 x - 9 x^{2} + 6 = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Изменим порядок $3 x$ и $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Этап 8.2.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9 x^{2}$ .

$- 3 (3 x^{2}) + 3 x + 6 = 0$

Этап 8.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $3 x$ .

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- x) + 6 = 0$

Этап 8.2.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $6$ .

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Этап 8.2.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (3 x^{2}) - 3 (- x)$ .

$- 3 (3 x^{2} - x) - 3 \cdot - 2 = 0$

Этап 8.2.1.6

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (3 x^{2} - x) - 3 (- 2)$ .

$- 3 (3 x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 8.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- 3 (3 x^{2} - (x) - 2) = 0$

Этап 8.2.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$- 3 (3 x^{2} + (2 - 3) x - 2) = 0$

Этап 8.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2) = 0$

Этап 8.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 3 ((3 x^{2} + 2 x) - 3 x - 2) = 0$

Этап 8.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 3 (x (3 x + 2) - (3 x + 2)) = 0$

Этап 8.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$- 3 ((3 x + 2) (x - 1)) = 0$

Этап 8.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (3 x + 2) (x - 1) = 0$

Этап 8.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 8.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 8.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 8.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 8.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 8.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 8.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 8.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (3 x + 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 1$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $2 (3 x - \sqrt{3 (2 + x)}) = 0$ истинным.

$x = 1$