Алгебра Примеры

$\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - a, x + a, x - 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - a$ является само значение $x - a$ .

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $x + a$ является само значение $x + a$ .

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x - a, x + a, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - a) (x + a) (x - 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$ умножим на $(x - a) (x + a) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$ на $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x - a$ из $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - a} ((x - a) ((x + a) (x - 1))) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x - a} ((x - a) ((x + a) (x - 1))) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(x + a) (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + a) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) + a (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + a (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3.4

Перенесем $- 1$ влево от $a$ .

$x^{2} - x + a x - 1 \cdot a + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.3.5

Перепишем $- 1 a$ в виде $- a$ .

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $x + a$ из $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x + a) ((x - a) (x - 1))) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x + a) ((x - a) (x - 1))) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x + a x - a + (x - a) (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(x - a) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x + a x - a + x (x - 1) - a (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x + a x - a + x \cdot x + x \cdot - 1 - a (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x + a x - a + x \cdot x + x \cdot - 1 - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} + x \cdot - 1 - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - 1 \cdot x - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6.4

Умножим $- a \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + 1 a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.1.6.4.2

Умножим $a$ на $1$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $a x$ из $a x$ .

$x^{2} - x - a + x^{2} - x + 0 + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $x^{2} - x - a + x^{2} - x$ и $0$ .

$x^{2} - x - a + x^{2} - x + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2.1.3

Добавим $- a$ и $a$ .

$x^{2} - x + x^{2} - x + 0 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2.1.4

Добавим $x^{2} - x + x^{2} - x$ и $0$ .

$x^{2} - x + x^{2} - x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x - x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - 1) ((x - a) (x + a)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - 1) ((x - a) (x + a)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 2 x = 2 ((x - a) (x + a))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x - a) (x + a)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x (x + a) - a (x + a))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + x a - a (x + a))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + x a - a x - a \cdot a)$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x a - a x - a \cdot a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x a$ и $- a x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + a x - a x - a \cdot a)$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $a x$ из $a x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + 0 - a \cdot a)$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x - a \cdot a)$

Этап 2.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - a \cdot a)$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Перенесем $a$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - (a \cdot a))$

Этап 2.3.3.2.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - a^{2})$

Этап 2.3.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 2 x = 2 x^{2} + 2 (- a^{2})$

Этап 2.3.3.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 x^{2} - 2 a^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} = - 2 a^{2}$

Этап 3.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 2 x + 0 = - 2 a^{2}$

Этап 3.1.2.2

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$- 2 x = - 2 a^{2}$

Этап 3.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 2 a^{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 2 a^{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Этап 3.2.3.1.2

Разделим $a^{2}$ на $1$ .

$x = a^{2}$