Алгебра Примеры

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

Этап 1.2

Вычтем $\sin (θ)$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

Этап 2

Упростим $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок $2 \cos^{2} (θ)$ и $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 2$ из $2 \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Этап 3

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Пусть $u = \sin (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ для всех.

$- 2 u^{2} - u = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 3.3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 3.3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 3.3.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $- 2 \sin (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $- 2 \sin (θ) - 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \sin (θ) = 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (θ) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (θ) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 3.4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Этап 3.4.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 3.4.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 3.4.2.6.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$θ = \frac{7 π}{6}$

Этап 3.4.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Этап 3.4.2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.4.2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 3.4.2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 3.4.2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.8.4.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Этап 3.4.2.8.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Этап 3.4.2.8.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Этап 3.4.2.9

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$