Алгебра Примеры

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\tan (\frac{π}{12})$ : $2 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2.2

Применим формулу для разности углов.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Этап 2.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7

Упростим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7.1.2

Объединим.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7.3.2

Сократим общий множитель.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7.3.3

Перепишем это выражение.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Этап 2.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Этап 2.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Этап 2.7.6

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Этап 2.7.7

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Этап 2.7.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.7.9

Упростим.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.10.1

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.10.2

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Этап 2.7.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Этап 2.7.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Этап 2.7.11

Перепишем ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.12

Развернем $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.13.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.13.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.13.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.13.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.13.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.13.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.13.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Этап 2.7.13.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Этап 2.7.13.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.13.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.13.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Этап 2.7.13.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Этап 2.7.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.13.3

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.14

Сократим общий множитель $12 - 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.14.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Этап 2.7.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Этап 2.7.14.4.2

Сократим общий множитель.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Этап 2.7.14.4.3

Перепишем это выражение.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 2.7.14.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

Этап 3

Преобразуем правую часть уравнения в эквивалентное десятичное число.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

Этап 4

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $arccot (0.26794919)$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $\frac{π}{36}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{5 π}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{5 π}{12}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Этап 6.3.2

Умножим $12$ на $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$x = \frac{15 π + π}{36}$

Этап 6.5.2

Добавим $15 π$ и $π$ .

$x = \frac{16 π}{36}$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $16$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $4$ из $16 π$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

Этап 6.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

Этап 6.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

Этап 6.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4 π}{9}$

Этап 7

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $π + \frac{5 π}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Этап 8.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Этап 8.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

Этап 8.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

Этап 8.1.3.2

Добавим $12 π$ и $5 π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $\frac{π}{36}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $\frac{17 π}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Этап 8.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $\frac{17 π}{12}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $12$ на $3$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

Этап 8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Умножим $3$ на $17$ .

$x = \frac{51 π + π}{36}$

Этап 8.2.5.2

Добавим $51 π$ и $π$ .

$x = \frac{52 π}{36}$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $52$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $52 π$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

Этап 8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

Этап 8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

Этап 8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{13 π}{9}$

Этап 9

Найдем период $\cot (x - \frac{π}{36})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10

Период функции $\cot (x - \frac{π}{36})$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Объединим ответы.

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ , для любого целого $n$