Алгебра Примеры

$| 2 x - 4 | - | x | \leq 3$

Этап 1

Заменим $\leq$ на $=$ в $| 2 x - 4 | - | x | \leq 3$ .

$| 2 x - 4 | - | x | = 3$

Этап 2

Решим относительно $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $| 2 x - 4 |$ из обеих частей уравнения.

$- | x | = 3 - | 2 x - 4 |$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- | x | = 3 - | 2 x - 4 |$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- | x | = 3 - | 2 x - 4 |$ на $- 1$ .

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{3}{- 1} + \frac{- | 2 x - 4 |}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x |}{1} = \frac{3}{- 1} + \frac{- | 2 x - 4 |}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $| x |$ на $1$ .

$| x | = \frac{3}{- 1} + \frac{- | 2 x - 4 |}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$| x | = - 3 + \frac{- | 2 x - 4 |}{- 1}$

Этап 2.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| x | = - 3 + \frac{| 2 x - 4 |}{1}$

Этап 2.2.3.1.3

Разделим $| 2 x - 4 |$ на $1$ .

$| x | = - 3 + | 2 x - 4 |$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- 3 + | 2 x - 4 |)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x = - 3 + | 2 x - 4 |$

$x = - (- 3 + | 2 x - 4 |)$

Этап 5

Решим $x = - 3 + | 2 x - 4 |$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| 2 x - 4 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 + | 2 x - 4 | = x$ .

$- 3 + | 2 x - 4 | = x$

Этап 5.1.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$| 2 x - 4 | = x + 3$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 4 = \pm (x + 3)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$2 x - 4 = x + 3$

$2 x - 4 = - (x + 3)$

Этап 5.4

Решим $2 x - 4 = x + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 4 - x = 3$

Этап 5.4.1.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 4 = 3$

Этап 5.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + 4$

Этап 5.4.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$x = 7$

Этап 5.5

Решим $2 x - 4 = - (x + 3)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (x + 3)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 4 = - (x + 3)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 4 = - x - 1 \cdot 3$

Этап 5.5.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 x - 4 = - x - 3$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 4 + x = - 3$

Этап 5.5.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 4 = - 3$

Этап 5.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = - 3 + 4$

Этап 5.5.3.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$3 x = 1$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = 7, \frac{1}{3}$

Этап 6

Решим $x = - (- 3 + | 2 x - 4 |)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| 2 x - 4 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (- 3 + | 2 x - 4 |) = x$ .

$- (- 3 + | 2 x - 4 |) = x$

Этап 6.1.2

Упростим $- (- 3 + | 2 x - 4 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- - 3 - | 2 x - 4 | = x$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 - | 2 x - 4 | = x$

Этап 6.1.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- | 2 x - 4 | = x - 3$

Этап 6.1.4

Разделим каждый член $- | 2 x - 4 | = x - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Разделим каждый член $- | 2 x - 4 | = x - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- | 2 x - 4 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| 2 x - 4 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.1.4.2.2

Разделим $| 2 x - 4 |$ на $1$ .

$| 2 x - 4 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$| 2 x - 4 | = - 1 \cdot x + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$| 2 x - 4 | = - x + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.1.4.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$| 2 x - 4 | = - x + 3$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 4 = \pm (- x + 3)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$2 x - 4 = - x + 3$

$2 x - 4 = - (- x + 3)$

Этап 6.4

Решим $2 x - 4 = - x + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 4 + x = 3$

Этап 6.4.1.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 4 = 3$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 3 + 4$

Этап 6.4.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$3 x = 7$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $3 x = 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Этап 6.5

Решим $2 x - 4 = - (- x + 3)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (- x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$2 x - 4 = 0 + 0 - (- x + 3)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 4 = - (- x + 3)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 4 = - - x - 1 \cdot 3$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x - 4 = 1 x - 1 \cdot 3$

Этап 6.5.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x - 4 = x - 1 \cdot 3$

Этап 6.5.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 x - 4 = x - 3$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 4 - x = - 3$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 4 = - 3$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = - 3 + 4$

Этап 6.5.3.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$x = 1$

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = \frac{7}{3}, 1$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 7, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{3}$

$\frac{7}{3} < x < 7$

$x > 7$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| 2 (0) - 4 | - | 0 | \leq 3$

Этап 9.1.3

Левая часть $4$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{3} < x < \frac{7}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$| 2 (1) - 4 | - | 1 | \leq 3$

Этап 9.2.3

Левая часть $1$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $\frac{7}{3} < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{7}{3} < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$| 2 (5) - 4 | - | 5 | \leq 3$

Этап 9.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$| 2 (10) - 4 | - | 10 | \leq 3$

Этап 9.4.3

Левая часть $6$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{3}$ Истина

$\frac{7}{3} < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < \frac{1}{3}$ Ложь

$\frac{1}{3} < x < \frac{7}{3}$ Истина

$\frac{7}{3} < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{7}{3}$ или $\frac{7}{3} \leq x \leq 7$

Этап 11

Объединим интервалы.

$\frac{1}{3} \leq x \leq 7$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{3} \leq x \leq 7$

Интервальное представление:

$[\frac{1}{3}, 7]$

Этап 13