Алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} \leq 16$ $x^{2} - y < 2$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$y^{2} \leq 16 - x^{2}$

Этап 1.2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = x$ .

$| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.4

Запишем $| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 1.4.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.4.3

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Найдем область определения $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Упростим $(4 + x) (4 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.1

Развернем $(4 + x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.1.2.3

Добавим $16$ и $0$ .

$16 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.2

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 16$

Этап 1.4.3.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 16$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.3.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Этап 1.4.3.1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Этап 1.4.3.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Этап 1.4.3.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 4 |$

Этап 1.4.3.1.2.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \leq 4$

Этап 1.4.3.1.2.6

Запишем $| x | \leq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.4.3.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 4$

Этап 1.4.3.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4.3.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 4$

Этап 1.4.3.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.4.3.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 4$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Этап 1.4.3.1.2.8

Решим $- x \leq 4$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.8.1.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \geq - 4$

Этап 1.4.3.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 4$ и $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Этап 1.4.3.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 4 \leq x \leq 4$

Этап 1.4.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 4, 4]$

Этап 1.4.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $[- 4, 4]$ .

$0 \leq y \leq 4$

Этап 1.4.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 1.4.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.4.6

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.1

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1

Упростим $(4 + x) (4 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.1

Развернем $(4 + x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.1.2.3

Добавим $16$ и $0$ .

$16 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.2

Вычтем $16$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 16$

Этап 1.4.6.1.2.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.3.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 16$

Этап 1.4.6.1.2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

Этап 1.4.6.1.2.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{16}$

Этап 1.4.6.1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1

Упростим $\sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 4 |$

Этап 1.4.6.1.2.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$| x | \leq 4$

Этап 1.4.6.1.2.6

Запишем $| x | \leq 4$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.4.6.1.2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 4$

Этап 1.4.6.1.2.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.4.6.1.2.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 4$

Этап 1.4.6.1.2.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.4.6.1.2.7

Найдем пересечение $x \leq 4$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 4$

Этап 1.4.6.1.2.8

Решим $- x \leq 4$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Этап 1.4.6.1.2.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1.2.8.1.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x \geq - 4$

Этап 1.4.6.1.2.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 4$ и $x < 0$ .

$- 4 \leq x < 0$

Этап 1.4.6.1.2.9

Найдем объединение решений.

$- 4 \leq x \leq 4$

Этап 1.4.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 4, 4]$

Этап 1.4.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $[- 4, 4]$ .

$- 4 \leq y < 0$

Этап 1.4.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & 0 \leq y \leq 4 \\ - y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & - 4 \leq y < 0 \end{cases}$

Этап 1.5

Найдем пересечение $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ и $0 \leq y \leq 4$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Этап 1.6

Решим $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ , когда $- 4 \leq y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Разделим каждый член $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

Этап 1.6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.6.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ в виде $- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 1.6.2

Найдем пересечение $y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ и $- 4 \leq y < 0$ .

Нет решения

Этап 1.7

Найдем объединение решений.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Этап 2

Построим график $x^{2} - y < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$- y < 2 - x^{2}$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- y < 2 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- y < 2 - x^{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} > \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} > \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y > \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$y > - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y > - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y > - 2 + x^{2}$

Этап 2.2

Найдем угловой коэффициент и точку пересечения с осью y для линии границы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 2.2.1.2

Изменим порядок $- 2$ и $x^{2}$ .

$y > x^{2} - 2$

Этап 2.2.2

Так как уравнение не линейное, то угловой коэффициент в виде константы не существует.

Не является линейным

Этап 2.3

Проведем пунктирную линию, а затем затушуем область над линией границы, так как $y$ больше чем $- 2 + x^{2}$ .

$y > - 2 + x^{2}$

Этап 3

Построим каждый график в одной системе координат.

$x^{2} + y^{2} \leq 16$

$x^{2} - y < 2$

Этап 4