Алгебра Примеры

$\frac{r}{r + 4} + \frac{4}{r - 4} = \frac{r^{2} + 16}{r^{2} - 16}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{r}{r + 4} + \frac{4}{r - 4} = \frac{r^{2} + 16}{r^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = r$ и $b = 4$ .

$\frac{r}{r + 4} + \frac{4}{r - 4} = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$r + 4, r - 4, (r + 4) (r - 4)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $r + 4$ является само значение $r + 4$ .

$(r + 4) = r + 4$

$(r + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $r - 4$ является само значение $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $r + 4$ является само значение $r + 4$ .

$(r + 4) = r + 4$

$(r + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $r - 4$ является само значение $r - 4$ .

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $r + 4, r - 4, r + 4, r - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(r + 4) (r - 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{r}{r + 4} + \frac{4}{r - 4} = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)}$ умножим на $(r + 4) (r - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{r}{r + 4} + \frac{4}{r - 4} = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)}$ на $(r + 4) (r - 4)$ .

$\frac{r}{r + 4} ((r + 4) (r - 4)) + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $r + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r}{r + 4} ((r + 4) (r - 4)) + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$r (r - 4) + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r \cdot r + r \cdot - 4 + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} + r \cdot - 4 + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 4$ влево от $r$ .

$r^{2} - 4 \cdot r + \frac{4}{r - 4} ((r + 4) (r - 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $r - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $r - 4$ из $(r + 4) (r - 4)$ .

$r^{2} - 4 r + \frac{4}{r - 4} ((r - 4) (r + 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$r^{2} - 4 r + \frac{4}{r - 4} ((r - 4) (r + 4)) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$r^{2} - 4 r + 4 (r + 4) = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} - 4 r + 4 r + 4 \cdot 4 = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$r^{2} - 4 r + 4 r + 16 = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $r^{2} - 4 r + 4 r + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 4 r$ и $4 r$ .

$r^{2} + 0 + 16 = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $r^{2}$ и $0$ .

$r^{2} + 16 = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(r + 4) (r - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} + 16 = \frac{r^{2} + 16}{(r + 4) (r - 4)} ((r + 4) (r - 4))$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} + 16 = r^{2} + 16$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $r$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $r^{2}$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + 16 - r^{2} = 16$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $r^{2} + 16 - r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $r^{2}$ из $r^{2}$ .

$0 + 16 = 16$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $16$ .

$16 = 16$

Этап 4.2

Поскольку $16 = 16$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $r$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$