Алгебра Примеры

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $5$ на $1$ .

$(5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.2.5.2

Перенесем $5$ влево от $i \sqrt{3}$ .

$(5 + 5 \cdot (i \sqrt{3})) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.3

Избавимся от скобок.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 1.4.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 1.4.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 1.4.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Этап 2

Развернем $(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $5 (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.1.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.3

Объединим $5$ и $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.4

Умножим $5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - 5 i \sqrt{3} \frac{1}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5}{2} i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.4.3

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i}{2} \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.4.4

Объединим $\frac{- 5 i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.6

Умножим $5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Объединим $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ и $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2} i \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.2

Объединим $\frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2}$ и $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5 i}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i)}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i^{1})}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{1 + 1}}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2} \sqrt{3}$

Этап 3.1.6.7

Объединим $\frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.1.6.8

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

Этап 3.1.6.9

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

Этап 3.1.6.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 3.1.6.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 3.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 3.1.7.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 3.1.7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 3.1.7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 3.1.7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 3.1.7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

Этап 3.1.7.2.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

Этап 3.1.7.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.3.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

Этап 3.1.7.3.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

Этап 3.1.7.3.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 15}{2}$

Этап 3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.3

Вычтем $15$ из $- 5$ .

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20}{2} + \frac{0}{2}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 + 0}{2}$

Этап 3.6

Добавим $- 20$ и $0$ .

$\frac{- 20}{2}$

Этап 4

Разделим $- 20$ на $2$ .

$- 10$