Алгебра Примеры

${(\frac{1}{27})}^{x^{2}} = 9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{1}{27})}^{x^{2}})$ , вынося $x^{2}$ из логарифма.

$x^{2} \ln (\frac{1}{27}) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1}{27})$ в виде $\ln (1) - \ln (27)$ .

$x^{2} (\ln (1) - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x^{2} (0 - \ln (27)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 5

Перепишем $\ln (27)$ в виде $\ln (3^{3})$ .

$x^{2} (0 - \ln (3^{3})) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 6

Развернем $\ln (3^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$x^{2} (0 - (3 \ln (3))) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{2} (0 - 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 8

Вычтем $3 \ln (3)$ из $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 9

Перепишем $\ln (9^{3 x + 8} \cdot {(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ в виде $\ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = \ln (9^{3 x + 8}) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 10

Развернем $\ln (9^{3 x + 8})$ , вынося $3 x + 8$ из логарифма.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + \ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$

Этап 11

Развернем $\ln ({(\frac{1}{81})}^{x^{2}})$ , вынося $x^{2}$ из логарифма.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} \ln (\frac{1}{81})$

Этап 12

Перепишем $\ln (\frac{1}{81})$ в виде $\ln (1) - \ln (81)$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (\ln (1) - \ln (81))$

Этап 13

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (81))$

Этап 14

Перепишем $\ln (81)$ в виде $\ln (3^{4})$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - \ln (3^{4}))$

Этап 15

Развернем $\ln (3^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - (4 \ln (3)))$

Этап 16

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (0 - 4 \ln (3))$

Этап 17

Вычтем $4 \ln (3)$ из $0$ .

$x^{2} (- 3 \ln (3)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Упростим $x^{2} (- 3 \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1.1

Упростим $- 3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x^{2} (- \ln (3^{3})) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.1.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x^{2} (- \ln (27)) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.1.1.3

Изменим порядок множителей в $x^{2} (- \ln (27))$ .

$- x^{2} \ln (27) = (3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим $(3 x + 8) \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} \ln (27) = 3 x \ln (9) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2.1.1.2

Упростим $3 \ln (9)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + 8 \ln (9) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2.1.1.3

Упростим $8 \ln (9)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (9^{3}) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1.4.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (9^{8}) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2.1.1.4.2

Возведем $9$ в степень $8$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- 4 \ln (3))$

Этап 18.2.1.1.5

Упростим $- 4 \ln (3)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (3^{4}))$

Этап 18.2.1.1.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$

Этап 18.2.1.2

Изменим порядок множителей в $x \ln (729) + \ln (43046721) + x^{2} (- \ln (81))$ .

$- x^{2} \ln (27) = x \ln (729) + \ln (43046721) - x^{2} \ln (81)$

Этап 18.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x^{2} \ln (27) - x \ln (729) - \ln (43046721) + x^{2} \ln (81) = 0$

Этап 18.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 18.5

Подставим значения $a = - \ln (27) + \ln (81)$ , $b = - \ln (729)$ и $c = - \ln (43046721)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- \ln (729))}^{2} - 4 \cdot ((- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- \ln (43046721)))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.6.1

Применим правило умножения к $- \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.3

Умножим $\ln^{2} (729)$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \cdot (- \ln (27) + \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 (- \ln (27)) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) - 4 \ln (81)) \cdot (- 1 \ln (43046721))}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (4 \ln (27) \cdot - 1 - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) - 4 \ln (81) \cdot - 1) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.8

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + (- 4 \ln (27) + 4 \ln (81)) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.6.9

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{\ln (729) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (- \ln (27) + \ln (81))}$

Этап 18.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{\ln (729) + \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}, - \frac{\ln (729) - \sqrt{\ln^{2} (729) - 4 \ln (27) \ln (43046721) + 4 \ln (81) \ln (43046721)}}{2 (\ln (27) - \ln (81))}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

Десятичная форма:

$x = 8, - 2$