Алгебра Примеры

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 6 x + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $6$ .

$1, 5$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$8 x, 8 x^{2}, x$

Этап 2.2

Так как $8 x, 8 x^{2}, x$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $8, 8, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Простыми множителями $8$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 4$

Этап 2.4.2

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

НОК $8, 8, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.7

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2$

Этап 2.7.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8$

Этап 2.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.10

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.12

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.13

НОК $8 x, 8 x^{2}, x$ представляет собой произведение числовой части $8$ и переменной части.

$8 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ умножим на $8 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ на $8 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{8 x} (8 x^{2}) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$8 \frac{x - 1}{8 (x)} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 1}{x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$(x - 1) x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.2.5.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 (x^{2})} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x = (x + 1) (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(x + 1) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x = x (x + 5) + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.5.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.5.2

Добавим $5 x$ и $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (8 x^{2})$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Этап 3.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Этап 3.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - (8 x)$

Этап 3.3.1.7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - 8 x$

Этап 3.3.2

Вычтем $8 x$ из $6 x$ .

$x^{2} - x = x^{2} - 2 x + 5$

Этап 4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - x^{2} = - 2 x + 5$

Этап 4.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - x - x^{2} + 2 x = 5$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x - x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x + 0 + 2 x = 5$

Этап 4.3.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$- x + 2 x = 5$

Этап 4.4

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$x = 5$