Алгебра Примеры

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Этап 2.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Этап 2.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Этап 2.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Этап 2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Этап 2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Этап 2.2

Перепишем $\log (2 x - x^{2}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Этап 2.3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Этап 2.3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3.4

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 2$ и $c = - 10$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Этап 2.3.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Этап 2.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Этап 3

Найдем область определения $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (2 x - x^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - x^{2} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x - x^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Этап 3.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 3.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 3.2.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 3.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 3.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Этап 3.2.8.1.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.2.8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Этап 3.2.8.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Этап 3.2.8.3.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 3.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 2$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, 2)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Этап 5.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 2$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 2$

Интервальное представление:

$(0, 2)$

Этап 8