Алгебра Примеры

$\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$

Этап 1

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{10}{2 x} = 2 x - 3$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим выражение $\frac{10}{2 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x)} = 2 x - 3$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x} = 2 x - 3$

Этап 2.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{x} = 2 x - 3$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{5}{x} = 2 x - 3$ на $x$ .

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{x} x = 2 x \cdot x - 3 x$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$5 = 2 x \cdot x - 3 x$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $x$ .

$5 = 2 (x \cdot x) - 3 x$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 = 2 x^{2} - 3 x$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 3 x = 5$ .

$2 x^{2} - 3 x = 5$

Этап 2.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Этап 2.4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

Этап 2.4.3.1.2

Запишем $- 3$ как $2$ плюс $- 5$

$2 x^{2} + (2 - 5) x - 5 = 0$

Этап 2.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5 = 0$

Этап 2.4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5 = 0$

Этап 2.4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Этап 2.4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 5) = 0$

Этап 2.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4.6

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.4.6.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.4.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $\log_{9} (\frac{10}{2 x}) = \log_{9} (2 x - 3)$ истинным.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$x = 2.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 2 \frac{1}{2}$