Алгебра Примеры

$x - \frac{10}{x - 1} \geq 4$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$x - \frac{10}{x - 1} - 4 \geq 0$

Этап 2

Упростим $x - \frac{10}{x - 1} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $x$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x}{1} - \frac{10}{x - 1} - 4 \geq 0$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x}{1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{10}{x - 1} - 4 \geq 0$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{x}{1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x - 1} - \frac{10}{x - 1} - 4 \geq 0$

Этап 2.1.4

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{x (x - 1)}{x - 1} - \frac{10}{x - 1} + \frac{- 4}{1} \geq 0$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x - 1} - \frac{10}{x - 1} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.1.6

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{x - 1} - \frac{10}{x - 1} + \frac{- 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x - 1) - 10 - 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 10 - 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 10 - 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 10 - 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 4 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - x - 10 - 4 x - 4 \cdot - 1}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.3.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 4 x + 4}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.4

Вычтем $4 x$ из $- x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 10 + 4}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.5

Добавим $- 10$ и $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 6}{x - 1} \geq 0$

Этап 2.6

Разложим $x^{2} - 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 5$ .

$- 6, 1$

Этап 2.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 6) (x + 1)}{x - 1} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6$

$x = - 1$

$x = 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 6, - 1, 1$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{(x - 6) (x + 1)}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 6) (x + 1)}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(- 4) - \frac{10}{(- 4) - 1} \geq 4$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(0) - \frac{10}{(0) - 1} \geq 4$

Этап 11.2.3

Левая часть $10$ больше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) - \frac{10}{(4) - 1} \geq 4$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.\overline{6}$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(8) - \frac{10}{(8) - 1} \geq 4$

Этап 11.4.3

Левая часть $6.\overline{571428}$ больше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x < 1$ или $x \geq 6$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 \leq x < 1 or x \geq 6$

Интервальное представление:

$[- 1, 1) \cup [6, \infty)$

Этап 14