Алгебра Примеры

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 (x) + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$\frac{2 x^{2} + (1 + 4) x + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 4 x + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x^{2} + x) + 4 x + 2}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{{(2 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} + 1 x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{x^{2} + x - 2}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{x^{2} + x - 2}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(2 x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 2)}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{(x + 2) (x - 1)}$

Этап 5.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 2) (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{(x + 2) (x - 1)}$

Этап 5.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{x - 1}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $(2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{x - 1}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{x - 1}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x - 1}$