Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + y}$ в виде ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2.2.1.2

Упростим.

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ в виде $3 x - y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - y - 1}$ в виде ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Этап 1.2.3.1.5

Упростим.

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Этап 1.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Добавим $y$ к обеим частям неравенства.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Этап 1.3.1.2

Добавим $y$ и $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Этап 1.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей неравенства.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Этап 1.3.3

Разделим каждый член $2 y < x - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Разделим каждый член $2 y < x - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 1.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 1.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 1.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем угловой коэффициент и точку пересечения с осью y для линии границы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 2.1.2

Изменим порядок членов.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Используем уравнение с угловым коэффициентом, чтобы найти угловой коэффициент и точку пересечения с осью y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значения $m$ и $b$ , используя форму $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2

Угловой коэффициент прямой ― это значение $m$ , а точка пересечения с осью y ― значение $b$ .

Угловой коэффициент: $\frac{1}{2}$

точка пересечения с осью y: $(0, - \frac{1}{2})$

Угловой коэффициент: $\frac{1}{2}$

точка пересечения с осью y: $(0, - \frac{1}{2})$

Угловой коэффициент: $\frac{1}{2}$

точка пересечения с осью y: $(0, - \frac{1}{2})$

Этап 3

Проведем пунктирную линию, затем затушуем область ниже линии границы, так как $y$ меньше $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4