Алгебра Примеры

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2}$

Этап 1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $2 x y$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x)}^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 2^{2} x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Этап 3

Упростим ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Этап 3.2

Развернем $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}$

Этап 3.3.1.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Этап 3.3.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $y^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $x^{2} y^{2}$ и $x^{2} y^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Этап 4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} = 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Этап 4.2

Вычтем $2 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем ${(x^{2} - y^{2})}^{2}$ в виде $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ .

$(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.2

Развернем $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x^{2} - y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.4.1

Перенесем $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.1.6

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $y^{2} x^{2}$ из $- x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - 1 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.3.3.2.2

Вычтем $x^{2} y^{2}$ из $- x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $x^{4}$ из $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 0 - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.4.2

Добавим $- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2}$ и $0$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.5

Добавим $- 2 x^{2} y^{2}$ и $4 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Этап 4.6

Объединим противоположные члены в $y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $2 x^{2} y^{2}$ из $2 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 0 = y^{4}$

Этап 4.6.2

Добавим $y^{4}$ и $0$ .

$y^{4} = y^{4}$

Этап 5

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| y | = | y |$

Этап 6

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$y = y$

$y = - y$

$- y = y$

$- y = - y$

Этап 7

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$y = y$

$y = - y$

Этап 8

Решим $y = y$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y - y = 0$

Этап 8.1.2

Вычтем $y$ из $y$ .

$0 = 0$

Этап 8.2

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 9

Решим $y = - y$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y + y = 0$

Этап 9.1.2

Добавим $y$ и $y$ .

$2 y = 0$

Этап 9.2

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разделим каждый член $2 y = 0$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y = 0$

Этап 10

Перечислим все решения.

$y = 0$

Этап 11

Переменная $x$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$