Алгебра Примеры

$\cot (x) = - 1$ , $\frac{3 π}{2} \leq x \leq 2 π$

Этап 1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $arccot (- 1)$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 3

Функция котангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Этап 4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Этап 4.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{4}$ является положительным и отличается от $\frac{3 π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Подставим $1$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $1$ вместо $n$ .

$\frac{3 π}{4} + π (1)$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{3 π}{4} + π$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Этап 8.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 π + π \cdot 4}{4}$

Этап 8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{3 π + 4 \cdot π}{4}$

Этап 8.2.4.2

Добавим $3 π$ и $4 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 8.3

Интервал $[\frac{3 π}{2}, 2 π]$ содержит $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{4}$