Алгебра Примеры

${(2 x - 3 y^{2})}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x - 3 y^{2})}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $- 3 y^{2}$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{3}$ на $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 x^{3} {(- 3 y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- 3 y^{2}$ .

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.8

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} y^{2 \cdot 0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.8.2

Умножим $2$ на $0$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.10

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.13

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y^{2})}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.14

Упростим.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y^{2}) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.15

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.16

Умножим $12$ на $- 3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.17

Упростим.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 3 (2 x) {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.18

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 x {(- 3 y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- 3 y^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 x ({(- 3)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.21

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 6 \cdot 9 x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.22

Умножим $6$ на $9$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x {(y^{2})}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.23

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{2 \cdot 2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.23.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.24

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.25

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.26

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.27

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + x^{0} {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.28

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + 1 {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.29

Умножим ${(- 3 y^{2})}^{3}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(- 3 y^{2})}^{3}$

Этап 4.30

Применим правило умножения к $- 3 y^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} + {(- 3)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Этап 4.31

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 {(y^{2})}^{3}$

Этап 4.32

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.32.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 y^{2 \cdot 3}$

Этап 4.32.2

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y^{2} + 54 x y^{4} - 27 y^{6}$