Алгебра Примеры

$\ln (x - 6) = 2 \ln (2) - \ln (10 - x)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \ln (2) - \ln (10 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x - 6) = \ln (2^{2}) - \ln (10 - x)$

Этап 1.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\ln (x - 6) = \ln (4) - \ln (10 - x)$

Этап 1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x - 6) = \ln (\frac{4}{10 - x})$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x - 6 = \frac{4}{10 - x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{4}{10 - x} + 6$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 10 - x, 1$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$1, 10 - x, 1$

Этап 3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$10 - x$

Этап 3.3

Каждый член в $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ умножим на $10 - x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ на $10 - x$ .

$x (10 - x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 10 + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$10 \cdot x + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$10 \cdot x - x \cdot x = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$10 x - (x \cdot x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $10 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 (10 - x)$

Этап 3.3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 \cdot 10 + 6 (- x)$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $6$ на $10$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 + 6 (- x)$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 - 6 x$

Этап 3.3.3.2

Добавим $4$ и $60$ .

$10 x - x^{2} = 64 - 6 x$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$10 x - x^{2} + 6 x = 64$

Этап 3.4.1.2

Добавим $10 x$ и $6 x$ .

$- x^{2} + 16 x = 64$

Этап 3.4.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Этап 3.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 16 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Этап 3.4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $16 x$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Этап 3.4.3.1.3

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Этап 3.4.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Этап 3.4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ .

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Этап 3.4.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Этап 3.4.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Этап 3.4.3.2.3

Перепишем многочлен.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Этап 3.4.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- {(x - 8)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- {(x - 8)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим ${(x - 8)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 3.4.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.4.6

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$