Алгебра Примеры

$6 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$6 (- \cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{- \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 2

Объединим $6$ и $\frac{- \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим выражение $\frac{6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 (1)} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 \cdot 1} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{1} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.2

Разделим $3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})$ на $1$ .

$3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 5.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7

Умножим $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Умножим $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ на $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 (- \sqrt{2}) + 3 (i \sqrt{2})) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(- 3 \sqrt{2} + 3 (i \sqrt{2})) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.4

Умножим $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.5

Умножим $3 i \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \cdot 2^{1} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6 + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 3 i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{1} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2 + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.6.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{- 6 + 6 i + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 + 6 i + (3 (- \sqrt{2}) + 3 (i \sqrt{2})) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 6 + 6 i + (- 3 \sqrt{2} + 3 (i \sqrt{2})) (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \sqrt{2} (i \sqrt{2}) + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.10

Умножим $- 3 \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.10.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1} i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.11

Умножим $3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 10.11.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 10.11.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 10.11.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 10.11.5

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}$

Этап 10.11.6

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}$

Этап 10.11.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Этап 10.11.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{1} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2 i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i + 3 \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 10.12.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 10.12.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 10.12.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 10.12.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 10.12.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{1}}{4}$

Этап 10.12.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2}{4}$

Этап 10.12.6

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 6}{4}$

Этап 11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $6$ из $- 6$ .

$\frac{- 12 + 6 i - 6 i}{4}$

Этап 11.2

Вычтем $6 i$ из $6 i$ .

$\frac{- 12 + 0}{4}$

Этап 11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Добавим $- 12$ и $0$ .

$\frac{- 12}{4}$

Этап 11.3.2

Разделим $- 12$ на $4$ .

$- 3$