Алгебра Примеры

$\sin (x) - 1 = 0$ on $0 \leq x < 2 π$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Подставим $0$ вместо $n$ и упростим, чтобы проверить, содержится ли решение в $[0, 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим $0$ вместо $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Этап 8.2.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 8.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 8.3

Интервал $[0, 2 π)$ содержит $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$