Алгебра Примеры

$12 x^{\frac{7}{2}} - 108 x^{3} = 0$

Этап 1

Найдем общий множитель $x^{3}$ , который присутствует в каждом члене.

$12 {(x^{3})}^{\frac{7}{6}} - 108 x^{3}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $x^{3}$ .

$12 {(u)}^{\frac{7}{6}} - 108 u = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u^{\frac{7}{6}} - 108 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u^{\frac{7}{6}}$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) - 108 u = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $12 u$ из $- 108 u$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9) = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $12 u$ из $12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9)$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u^{\frac{1}{6}} - 9$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u^{\frac{1}{6}} - 9$ к $0$ .

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{1}{6}} = 9$

Этап 3.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $6$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{1}{6}})}^{6} = 9^{6}$

Этап 3.4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Упростим ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Этап 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 9^{6}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2

Упростим.

$u = 9^{6}$

Этап 3.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.2.1

Возведем $9$ в степень $6$ .

$u = 531441$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$ верно.

$u = 0, 531441$

Этап 4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{3} = 0, 531441$

Этап 5

Решим относительно $x^{3} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6

Решим относительно $x^{3} = 531441$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $531441$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 531441 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $531441$ в виде $81^{3}$ .

$x^{3} - 81^{3} = 0$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 81$ .

$(x - 81) (x^{2} + x \cdot 81 + 81^{2}) = 0$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $81$ влево от $x$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 81^{2}) = 0$

Этап 6.2.3.2

Возведем $81$ в степень $2$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 81 = 0$

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 81$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 81$ к $0$ .

$x - 81 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $81$ к обеим частям уравнения.

$x = 81$

Этап 6.5

Приравняем $x^{2} + 81 x + 6561$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x^{2} + 81 x + 6561$ к $0$ .

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $x^{2} + 81 x + 6561 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 81$ и $c = 6561$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6561)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Возведем $81$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 1 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 6561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 26244}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.3

Вычтем $26244$ из $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем $- 19683$ в виде $- 1 (19683)$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (19683)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.7

Перепишем $19683$ в виде $81^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $6561$ из $19683$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{6561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.7.2

Перепишем $6561$ в виде $81^{2}$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{81^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot (81 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.1.9

Перенесем $81$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$ верно.

$x = 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = 0, 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$