Алгебра Примеры

$\tan (x) > - 1$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x > \arctan (- 1)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Этап 3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 6.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем область определения $\tan (x) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\tan (2) > - 1$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2.18503986$ не больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\tan (4) > - 1$

Этап 11.2.3

Левая часть $1.15782128$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\tan (5) > - 1$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 3.380515$ не больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Ложь

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Ложь

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3 π}{4} + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13