Алгебра Примеры

$\frac{n^{2} + 7 n + 6}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$

Этап 1

Разложим $n^{2} + 7 n + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $7$ .

$1, 6$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$n^{2}, 6, 6 n^{2}$

Этап 2.2

Так как $n^{2}, 6, 6 n^{2}$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 6, 6$ , затем найдем НОК для части с переменной $n^{2}, n^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 2.7

Множители $n^{2}$ — $n \cdot n$ , то есть $n$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$n^{2} = n \cdot n$

$n$ встречается $2$ раз.

Этап 2.8

НОК $n^{2}, n^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$n \cdot n$

Этап 2.9

Умножим $n$ на $n$ .

$n^{2}$

Этап 2.10

НОК $n^{2}, 6, 6 n^{2}$ представляет собой произведение числовой части $6$ и переменной части.

$6 n^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$ умножим на $6 n^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$ на $6 n^{2}$ .

$\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} (6 n^{2}) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.1.2

Объединим $6$ и $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}}$ .

$\frac{6 ((n + 1) (n + 6))}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 ((n + 1) (n + 6))}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 ((n + 1) (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.2

Развернем $(n + 1) (n + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (n (n + 6) + 1 (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (n \cdot n + n \cdot 6 + 1 (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (n \cdot n + n \cdot 6 + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $n$ на $n$ .

$6 (n^{2} + n \cdot 6 + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $n$ .

$6 (n^{2} + 6 \cdot n + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $n$ на $1$ .

$6 (n^{2} + 6 n + n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6 (n^{2} + 6 n + n + 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.3.2

Добавим $6 n$ и $n$ .

$6 (n^{2} + 7 n + 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 n^{2} + 6 (7 n) + 6 \cdot 6 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $7$ на $6$ .

$6 n^{2} + 42 n + 6 \cdot 6 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.2.5.2

Умножим $6$ на $6$ .

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 n^{2}$ .

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 (n^{2})) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $6 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6 n^{2}}$ в числитель.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} + \frac{- 1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} + \frac{- 1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 n^{2} + 42 n + 36 - n^{2} = - 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $n^{2}$ из $6 n^{2}$ .

$5 n^{2} + 42 n + 36 = - 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 n^{2} + 42 n + 36 + 1 = 0$

Этап 4.3

Добавим $36$ и $1$ .

$5 n^{2} + 42 n + 37 = 0$

Этап 4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 37 = 185$ , а сумма — $b = 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $42$ из $42 n$ .

$5 n^{2} + 42 (n) + 37 = 0$

Этап 4.4.1.2

Запишем $42$ как $5$ плюс $37$

$5 n^{2} + (5 + 37) n + 37 = 0$

Этап 4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 n^{2} + 5 n + 37 n + 37 = 0$

Этап 4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 n^{2} + 5 n) + 37 n + 37 = 0$

Этап 4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$5 n (n + 1) + 37 (n + 1) = 0$

Этап 4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $n + 1$ .

$(n + 1) (5 n + 37) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n + 1 = 0$

$5 n + 37 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $n + 1$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $n + 1$ к $0$ .

$n + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$n = - 1$

Этап 4.7

Приравняем $5 n + 37$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $5 n + 37$ к $0$ .

$5 n + 37 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $5 n + 37 = 0$ относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вычтем $37$ из обеих частей уравнения.

$5 n = - 37$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $5 n = - 37$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $5 n = - 37$ на $5$ .

$\frac{5 n}{5} = \frac{- 37}{5}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 n}{5} = \frac{- 37}{5}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{- 37}{5}$

Этап 4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$n = - \frac{37}{5}$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(n + 1) (5 n + 37) = 0$ верно.

$n = - 1, - \frac{37}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$n = - 1, - \frac{37}{5}$

Десятичная форма:

$n = - 1, - 7.4$

Форма смешанных чисел:

$n = - 1, - 7 \frac{2}{5}$