Алгебра Примеры

$\frac{- 3 (m^{2} - n^{2})}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m$ и $b = n$ .

$\frac{- 3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 (m + n)) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- (\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}) + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} {\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1 + 1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}$ в виде $n^{2} + m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ в виде ${(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{({(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 1.4.6.5

Упростим.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n^{2} + m^{2}}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ из $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ из $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ из $\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} ((- 3 m - 3 n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.3

Развернем $(- 3 m - 3 n) (m - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m (m - n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перенесем $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m \cdot m) - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $m$ на $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 \cdot - 1 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n \cdot n + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.5.1

Перенесем $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 (n \cdot n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.5.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $3 n m$ из $3 m n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Перенесем $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 m n + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $3 m n$ из $3 m n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 0 + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.4.3

Добавим $- 3 m^{2}$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.5

Добавим $- 3 m^{2}$ и $m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.6

Добавим $3 n^{2}$ и $n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $2$ из $- 2 m^{2} + 4 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.7.2

Вынесем множитель $2$ из $4 n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 4.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2} + 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \cdot 2 (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- m^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 n^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) - (- 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (m^{2}) - (- 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $- (m^{2} - 2 n^{2})$ в виде $- 1 (m^{2} - 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 1 (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Этап 5.5.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$