Алгебра Примеры

$g (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{| x - 2 |}$

Этап 1

Найдем область определения $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x - 2 | = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm 0$

Этап 1.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{((- 2) - 2) ((- 2) + 3)}{| (- 2) - 2 |}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 (- 2 + 3)}{| - 2 - 2 |}$

Этап 2.1.2.1.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 \cdot 1}{| - 2 - 2 |}$

Этап 2.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 \cdot 1}{| - 4 |}$

Этап 2.1.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 4$ и $0$ равно $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 \cdot 1}{4}$

Этап 2.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 4}{4}$

Этап 2.1.2.3.2

Разделим $- 4$ на $4$ .

$f (- 2) = - 1$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ . В данном случае получится точка $(- 1, - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{((- 1) - 2) ((- 1) + 3)}{| (- 1) - 2 |}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 (- 1 + 3)}{| - 1 - 2 |}$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 \cdot 2}{| - 1 - 2 |}$

Этап 2.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 \cdot 2}{| - 3 |}$

Этап 2.2.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 \cdot 2}{3}$

Этап 2.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 6}{3}$

Этап 2.2.2.3.2

Разделим $- 6$ на $3$ .

$f (- 1) = - 2$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ . В данном случае получится точка $(0, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{((0) - 2) ((0) + 3)}{| (0) - 2 |}$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 2 (0 + 3)}{| 0 - 2 |}$

Этап 2.3.2.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = \frac{- 2 \cdot 3}{| 0 - 2 |}$

Этап 2.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$f (0) = \frac{- 2 \cdot 3}{| - 2 |}$

Этап 2.3.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (0) = \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (0) = \frac{- 6}{2}$

Этап 2.3.2.3.2

Разделим $- 6$ на $2$ .

$f (0) = - 3$

Этап 2.3.2.4

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{(x - 2) (x + 3)}{| x - 2 |}$ . В данном случае получится точка $(1, - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{((1) - 2) ((1) + 3)}{| (1) - 2 |}$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 (1 + 3)}{| 1 - 2 |}$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 4}{| 1 - 2 |}$

Этап 2.4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 4}{| - 1 |}$

Этап 2.4.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 4}{1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1}$

Этап 2.4.2.3.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$f (1) = - 4$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, - 1), (- 1, - 2), (0, - 3), (1, - 4)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 3 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Этап 3