Алгебра Примеры

$(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$

Этап 1

Разделим каждый член $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ на $x + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + b x - 2) (x + 3) = x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ на $x + 3$ .

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + b x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $x^{2} + b x - 2$ на $1$ .

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3}}{x + 3} + \frac{6 x^{2}}{x + 3} + \frac{7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} + b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Этап 2

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$b x - 2 = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2}$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разобьем дробь $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$ на две дроби.

$b x = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{2}$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 7 x}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$b x = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 7$ .

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} + \frac{- 6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 2.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$

Этап 3

Разделим каждый член $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $b x = \frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2$ на $x$ .

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b x}{x} = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3}}{x} + \frac{- \frac{6}{x + 3}}{x} + \frac{- x^{2}}{x} + \frac{2}{x}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7)}{x + 3} - \frac{6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$b = \frac{\frac{x (x^{2} + 6 x + 7) - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$b = \frac{\frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$b = \frac{\frac{x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = \frac{\frac{x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + x (6 x) + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 7 - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x \cdot x + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 (x \cdot x) + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 \cdot x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

$b = \frac{\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.1.4

Разложим $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 3.3.2.1.4.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 3.3.2.1.4.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 + 6 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 + 6 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.4

Умножим $6$ на $9$ .

$- 27 + 54 + 7 \cdot - 3 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.5

Добавим $- 27$ и $54$ .

$27 + 7 \cdot - 3 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.6

Умножим $7$ на $- 3$ .

$27 - 21 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.7

Вычтем $21$ из $27$ .

$6 - 6$

Этап 3.3.2.1.4.3.8

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 3.3.2.1.4.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6}{x + 3}$

Этап 3.3.2.1.4.5

Разделим $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.4.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 3.3.2.1.4.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 3.3.2.1.4.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 3.3.2.1.4.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 3.3.2.1.4.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 3.3.2.1.4.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$

Этап 3.3.2.1.4.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							-	$2 x$	-	$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$

Этап 3.3.2.1.4.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$2 x$	-	$6$
							+	$2 x$	+	$6$
										$0$

Этап 3.3.2.1.4.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x - 2$

Этап 3.3.2.1.4.6

Запишем $x^{3} + 6 x^{2} + 7 x - 6$ в виде набора множителей.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{\frac{(x + 3) (x^{2} + 3 x - 2)}{x + 3} - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.2.2.2

Разделим $x^{2} + 3 x - 2$ на $1$ .

$b = \frac{x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2}{x}$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 0 + 2}{x}$

Этап 3.3.3.1.2

Добавим $3 x - 2$ и $0$ .

$b = \frac{3 x - 2 + 2}{x}$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$b = \frac{3 x + 0}{x}$

Этап 3.3.3.1.4

Добавим $3 x$ и $0$ .

$b = \frac{3 x}{x}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$b = \frac{3 x}{x}$

Этап 3.3.3.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$b = 3$