Алгебра Примеры

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Этап 1

Упростим выражения в уравнении.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (a + 3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем $\ln (16)$ в виде $\ln (2^{4})$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Этап 3.1.1.2

Развернем $\ln (2^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Этап 3.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Этап 3.1.1.3.2

Разделим $\ln (2)$ на $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Этап 3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Этап 4

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Этап 5

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 a$ из обеих частей уравнения.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Этап 5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перепишем ${(a + 3)}^{2}$ в виде $(a + 3) (a + 3)$ .

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.2

Развернем $(a + 3) (a + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Этап 5.1.2.3.2

Добавим $3 a$ и $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Этап 5.1.3

Вычтем $2 a$ из $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Этап 5.2

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $14$ из $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Этап 5.4

Разложим $a^{2} + 4 a - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $4$ .

$- 1, 5$

Этап 5.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $a - 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $a - 1$ к $0$ .

$a - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$a = 1$

Этап 5.7

Приравняем $a + 5$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $a + 5$ к $0$ .

$a + 5 = 0$

Этап 5.7.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$a = - 5$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 1) (a + 5) = 0$ верно.

$a = 1, - 5$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ истинным.

$a = 1$